一、题目呈现
题目内容：
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，且当 $x < 0$ 时，$f(x) = 2^x$。对任意 $x_0 \in \mathbb{R}$，定义集合
$$D(x_0) = \{d \in \mathbb{R} \mid f(x_0 + d) > f(x_0)\}$$
(1) 若当 $x \geq 0$ 时，$f(x) = 1 - x$，求 $D(-1)$；
(2) 若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1) \leq f(x_2)$，且 $x_1 x_2 \neq 0$，证明：$D(x_2) \subseteq D(x_1)$；
(3) 设 $f(x)$ 满足：
- ① 若 $f(x_1) \leq f(x_2)$，则 $D(x_2) \subseteq D(x_1)$；
- ② 当 $0 < x < 1$ 时，$f(x) < f(0)$。
  (i) 证明 $f(0) \geq 1$；
  (ii) 证明 $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 单调递增。
二、命题意图分析
1. 反套路、重思维的命题导向
2026年新高考数学一卷继续朝着"少套路、重思维"的方向深化，第19题作为全卷压轴题，彻底打破了往年以函数、导数、解析几何为背景的固定套路。本题通过引入"集合 $D(x_0)$"这一新定义，将函数与集合两大基础概念深度融合，构建了一个全新的数学结构，要求考生现场阅读理解、即时迁移应用。[1]
2. 考查真正的数学素养
命题人并非要考查某种特定技巧或 memorized 套路，而是要检验学生是否真正理解：
- 集合的本质：集合是元素的汇集，新定义的形式化表达只是约束条件
- 函数的多元表征：分段函数、奇函数、抽象函数的灵活运用
- 逻辑推理能力：从已知条件出发，通过严密推导得出结论
3. 强区分度的选拔功能
本题设置四问递进，难度逐层攀升：
- 第(1)问：基础切入，中等水平学生可完成
- 第(2)问：分类讨论与逻辑证明，中上水平学生可触及
- 第(3)(i)问：反证法与抽象推理，高水平学生可攻克
- 第(3)(ii)问：综合构造与递推证明，极少数学生能完整完成
据阅卷统计，本题平均完成度不到三成，绝大多数学生只能做出前两小问，最后两问直接空白，实现了极强的选拔功能。[2]
三、考查知识点梳理
| 知识模块 | 具体内容 | 考查深度 |
|---------|---------|---------|
| 集合与逻辑 | 新定义集合的理解、集合包含关系的证明 | 高 |
| 函数概念 | 分段函数、奇函数、抽象函数 | 高 |
| 指数函数 | $f(x) = 2^x$ 的性质与应用 | 中 |
| 函数单调性 | 利用定义证明单调性、单调性的应用 | 高 |
| 分类讨论 | 多维度参数分类、不重不漏 | 高 |
| 不等式 | 不等式的推导与放缩 | 中 |
| 反证法 | 假设矛盾、推出结论 | 高 |
| 逻辑推理 | 条件与结论的层层递推 | 极高 |
核心知识点详解
1. 新定义集合 $D(x_0)$ 的理解
这是解题的关键突破口。$D(x_0)$ 表示所有满足"将 $x_0$ 平移 $d$ 后函数值增大"的实数 $d$ 的集合。即：
$$D(x_0) = \{d \mid f(x_0 + d) > f(x_0)\}$$
本质上，这是一个以函数不等式为约束条件的实数集合。
2. 分段函数的完备讨论
由于 $f(x)$ 在 $x < 0$ 时表达式已知，而 $x \geq 0$ 时的表达式需要结合题目条件确定，因此讨论 $x_0 + d$ 与 0 的大小关系成为分类的核心依据。
3. 奇函数的隐性约束
第(2)问仅给出"奇函数"条件，需要学生自主推导完整表达式：
- $x < 0$ 时：$f(x) = 2^x$（已知）
- $x = 0$ 时：$f(0) = 0$（奇函数性质）
- $x > 0$ 时：$f(x) = -f(-x) = -2^{-x}$
四、解题方法与技巧
第(1)问：求 $D(-1)$ —— 基础切入法
核心思路：将集合问题转化为解不等式问题。
解题步骤：
- 确定基准值：$f(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
- 分类讨论 $d$ 的取值：
- 情形一：$-1 + d < 0$（即 $d < 1$）
- 此时 $f(-1+d) = 2^{d-1}$
- 不等式：$2^{d-1} > 2^{-1}$，解得 $d > 0$
- 综合得：$0 < d < 1$
- 情形二：$-1 + d \geq 0$（即 $d \geq 1$）
- 此时 $f(-1+d) = 1 - (-1+d) = 2 - d$
- 不等式：$2 - d > \frac{1}{2}$，解得 $d < \frac{3}{2}$
- 综合得：$1 \leq d < \frac{3}{2}$
- 合并结果：$D(-1) = \{d \mid 0 < d < \frac{3}{2}\}$
技巧要点：分类讨论不重不漏，临界值单独检验。
第(2)问：证明 $D(x_2) \subseteq D(x_1)$ —— 分类证明法
核心思路：证明集合包含关系，需证明"任意元素属于左集合则必属于右集合"。
解题框架：
由 $f(x_1) \leq f(x_2)$，结合 $f(x)$ 表达式分析，可分三种情形：
| 情形 | 条件 | $D(x_2)$ | $D(x_1)$ | 包含关系 |
|-----|------|---------|---------|---------|
| 1 | $x_1 \leq x_2 < 0$ | $(0, -x_2)$ | $(0, -x_1)$ | $D(x_2) \subseteq D(x_1)$ |
| 2 | $0 < x_1 \leq x_2$ | $(-\infty, -x_2] \cup (0, +\infty)$ | $(-\infty, -x_1] \cup (0, +\infty)$ | $D(x_2) \subseteq D(x_1)$ |
| 3 | $x_1 > 0 > x_2$ | $(0, -x_2)$ | $(-\infty, -x_1] \cup (0, +\infty)$ | $D(x_2) \subseteq D(x_1)$ |
技巧要点：
- 先确定 $f(x)$ 的完整分段表达式
- 按 $x_1, x_2$ 的正负分类是讨论的主线
- 每种情形下再按 $x + d$ 与 0 的关系细分
- 利用集合区间的端点比较证明包含关系
第(3)(i)问：证明 $f(0) \geq 1$ —— 反证法
核心思路：假设结论不成立，推出矛盾。
证明框架：
- 反设：假设 $f(0) < 1$
- 构造矛盾：
- 由于 $x < 0$ 时 $f(x) = 2^x < 1$，且当 $x \to 0^-$ 时 $f(x) \to 1$
- 故存在 $x_0 \in (-\varepsilon, 0)$，使得 $f(0) < f(x_0)$（接近0的负数处函数值趋近于1）
- 由条件①：$D(x_0) \subseteq D(0)$
- 又 $f(x_0 - \frac{x_0}{2}) = f(\frac{x_0}{2})$，由于 $\frac{x_0}{2} \in (-\frac{\varepsilon}{2}, 0)$，有 $f(\frac{x_0}{2}) > f(x_0)$（指数函数递增）
- 故 $-\frac{x_0}{2} \in D(x_0)$，从而 $-\frac{x_0}{2} \in D(0)$
- 即 $f(-\frac{x_0}{2}) > f(0)$
- 导出矛盾：
- 但 $0 < -\frac{x_0}{2} < \frac{\varepsilon}{2} < 1$，由条件②：$f(-\frac{x_0}{2}) < f(0)$
- 矛盾！故假设不成立，$f(0) \geq 1$
技巧要点：
- 反证法的假设要清晰
- 利用指数函数的极限性质构造接近0的点
- 条件①和条件②的联合使用是破题关键
第(3)(ii)问：证明单调递增 —— 构造转化法
核心思路：将单调性证明转化为集合包含关系的推导。
证明框架：
- 目标转化：要证 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 单调递增，即证：
- 对任意 $x_2 > x_1 > 0$，有 $f(x_2) > f(x_1)$
- 关键构造：
- 令 $d = x_2 - x_1 > 0$
- 则 $f(-d + d) = f(0) \geq 1 > 2^{-d} = f(-d)$
- 故 $d \in D(-d)$
- 传递推导：
- 若能证明 $D(-d) \subseteq D(x_1)$，则 $d \in D(x_1)$
- 即 $f(x_1 + d) > f(x_1)$，也就是 $f(x_2) > f(x_1)$
- 由条件①，只需证明 $f(x_1) \leq f(-d)$
- 核心难点：证明 $f(x_1) \leq 0$ 对所有 $x_1 > 0$ 成立
- 情形A：假设存在 $t_1 \in (0, 1)$ 使 $f(t_1) > 0$
- 利用条件①和②推出矛盾
- 情形B：假设存在 $t_3 \in [1, +\infty)$ 使 $f(t_3) > 0$
- 构造 $t_4 < 0$，利用条件①和②推出矛盾
技巧要点：
- 将函数值大小比较转化为集合包含关系
- 反证法是处理"不可能存在"类结论的利器
- 条件的反复调用需要清晰的逻辑链条
五、题目难度与失分分析
难度层次
| 小问 | 难度 | 分值 | 预期得分率 |
|-----|------|------|-----------|
| (1) | 中等 | 3-4分 | 60%-70% |
| (2) | 较难 | 4-5分 | 25%-35% |
| (3)(i) | 难 | 3-4分 | 10%-15% |
| (3)(ii) | 极难 | 3-4分 | 5%以下 |
主要失分原因
- 新定义理解偏差：将 $D(x_0)$ 误认为是函数而非集合
- 分类讨论不完整：遗漏临界情况或讨论维度不足
- 逻辑链条断裂：证明过程中跳步或条件引用错误
- 抽象推理薄弱：无法处理没有具体表达式的抽象函数
- 时间分配不当：在前面的题目耗时过多，压轴题仓促作答
六、备考建议
1. 基础阶段：深化概念理解
- 回归课本：吃透集合、函数的定义、定理，能自行推导所有结论
- 重视语言转化：训练将文字语言、符号语言、图形语言相互转化的能力
- 理解本质：不要只记题型，要理解每个概念的本质含义
2. 能力培养：强化逻辑推理
- 新定义训练：专门训练"现场学习"能力，即阅读一个新定义后立即应用
- 证明书写：严格按照"条件→依据→结论"的链条书写，不跳步
- 分类讨论：练习多维度分类，确保不重不漏
3. 方法积累：掌握核心思想
| 思想方法 | 应用场景 | 训练建议 |
|---------|---------|---------|
| 分类讨论 | 分段函数、含参问题 | 先确定讨论标准，再逐类解决 |
| 反证法 | "不可能""至少""唯一"类命题 | 明确假设，寻找矛盾 |
| 构造法 | 存在性、不等式证明 | 从结论倒推，构造辅助元素 |
| 转化与化归 | 复杂问题简化 | 将陌生问题转化为熟悉模型 |
4. 实战策略：考场时间分配
- 选填题：控制在40分钟内，不纠结难题
- 中档大题：每题10-12分钟，确保步骤完整
- 压轴题：预留20-25分钟，先拿下第(1)问，再争取第(2)问
- 书写规范：定理前置、分类标号、推导分步，适配阅卷细则
5. 压轴专项：新定义题型突破
- 阅读理解：逐字圈画新定义中的关键条件
- 特殊化试探：用特殊值、特殊情形验证理解是否正确
- 递进推理：利用前几问的结论为后几问铺路
- 心态调整：接受压轴题后几问可能做不完的现实，确保会做的拿满分
七、总结评价
2026年高考数学I卷第19题是一道高质量的创新压轴题，其特点可概括为：
- 起点低、落点高：第(1)问基础切入，第(3)(ii)问极难，梯度合理
- 反套路、重本质：无固定模板可套，纯靠数学思维现场拆解
- 少计算、重推理：不需要复杂计算，但需要严密的逻辑推导
- 跨模块、深融合：集合与函数的深度融合，体现数学整体性
本题对中学数学教学的启示是：刷题时代已经过去，真正理解数学本质、具备逻辑推理能力的学生才能在高考中脱颖而出。 教师在教学中应重视概念形成过程，培养学生自主探究和逻辑表达能力；学生在学习中应摒弃机械记忆，注重思维训练和规范表达。
参考来源
[1] 2026年新高考一卷数学真题试卷及答案解析. CSDN博客.
[2] 2026年新高考Ⅰ卷数学满分全维度深度分析. 今日头条.
[3] 2026年全国高考数学I卷第19题之解法. 今日头条.
[4] 2026全国高考数学I卷压轴大题的分析及启示. 今日头条.