《数学思维》· 阅读笔记
郑乐隽 · 共 16 条
“数字1是什么？回答这个问题有两种方法，它们分别是两种不同程度的抽象。
第一个回答：1是数数的基本单元。
第二个回答：1是唯一一个其他数字乘以它之后不会发生变化的数字。
这两个答案在不同的情境下都是有意义的。当我们需要做加法的时候，第一个答案就很有用；在数学里，这个答案相当于将数字定义为一个“群”——一个我们可以做加法的世界。而当我们想讨论乘法的时候，第二个概念就很有用了；这个答案相当于将数字定义为一个“环”——一个我们既可以做加法也可以做乘法的世界。关于群的研究与图形的对称性相关，关于环的研究与图形的其他几何学特性有关。我们稍后会继续讨论这个问题。”
数学1的意义
2022-03-10
“数学的抽象化过程的弊端之一就是，你需要用到一大堆稀奇古怪的符号。其原因与上述情况类似：一旦你明白了这些符号的意思，它们使用起来就会变得很方便，从而你可以将更多的脑力集中用于攻克更为复杂和重要的数学问题。符号的使用也使数学可以跨越语言——你可能会惊讶地发现，读一本用某种你不懂的外语写成的数学书并没有那么困难。”
符号化的弊端与优势
2022-03-10
“我们丢掉了一些现实性的细节，却获得了新的视角和更高的处理效率。数字的好处在于，我们可以研究“东西”，并且不必因为“东西”自身属性的不同而改变我们的思考路径。一旦我们明白2+2=4，我们就知道了两个东西加上另外两个东西会变成四个东西，不管这些东西是糖、猴子、房子还是别的什么。这就是抽象的过程：把糖、猴子、房子或别的什么，变成数字。”
数学的抽象化过程
2022-03-10
“数学的发展可以说经历了以下几个阶段：
1. 它起源于对数字的研究。
2. 人们想出了一些方法来研究这些数字。
3. 人们意识到，这些方法也可以用来研究其他事物。
4. 人们四处寻找其他可以用这些方法来研究的事物。
其实还有一个步骤0，位于数字诞生以前：有人发明了数字这个概念。数字可以说是数学中可以研究的最基本的东西，但数字并不是一开始就有的。也许，数字的发明就是最早的抽象化过程。”
数学的发展阶段
2022-03-10
“发生一般伴随着两种过程。
第一种是“抽象化”：我们用逻辑梳理清楚了本来没有逻辑存在的领域。打个比方，可能你原本只用电饭煲煮米饭，而有一天，你发现你也可以用它来烤蛋糕，而且用电饭煲烤出来的蛋糕和用传统烤箱烤出来的蛋糕只有一点点不同。换句话说，我们借助一种新的视角来看待原本不是数学的事物，从而将其变为数学。这就是x和y会出现在数学领域的原因——我们原先的目的是研究数字，但后来我们发现此种处理数字的方法也可以应用到其他领域。
第二种是“广义化”：我们明白了如何用我们已经理解的事物来建构更复杂的事物。这就好像你用搅拌机做了一个蛋糕，又用搅拌机做了酥皮，然后把两者堆叠起来，创造出一种新的甜点。在数学领域，这就等同于用比较简单的数字、三角形和日常生活中的事物来建构多项式、矩阵、四维空间等。”
数学发展的抽象化和广义化
觉得抽象化的一个实证之一便是欧几里得关于圆的定义，一根线段绕一点旋转一周绘出的图形就是圆，用 抽象精确的语言定义了这个世界不会出现的最理想完美的圆
又想起来跟圆有关的事情：之后在二维的坐标轴上就可以用x与y来给出圆的有关方程式，从而在数理和二维的角度上给出了完美圆的表达。之后又将x与y推广到三维，甚至可以是n维的表达式，大概就是下面说的广义性了
2022-03-10
“在学校，如果你写下10+4=2，你会被告知这是错的，但在某些情况下，这个等式是对的，比如计算时间——上午10点过去4个小时就是下午2点。事实上，数学的世界比你所知道的更加神奇和不可思议……”
10+4=2的对与错
2022-03-10
“数学到底研究什么？它的确研究数字，但也研究其他东西，比如形状、图像和模式，以及肉眼看不到的——富有逻辑的想法。甚至还有更多：那些我们目前还不知道的东西。数学持续发展的原因之一就是，一旦你掌握了一种方法，你总能找到更多可以用它来研究的对象，然后你又能找到更多研究这些对象的方法，再然后你又能用新方法找到更多可以研究的对象，如此循环往复，就像鸡生蛋，蛋生鸡，鸡生蛋……”
数学的研究对象
2022-03-10
“数学是运用逻辑规则，对所有符合逻辑规则的事物进行的研究。”
数学的简单定义
2022-03-10
“抽象是理解数学的关键。抽象也是数学看起来远离“实际生活”的原因所在。这种与实际生活的疏远正是数学发挥其优势的地方，同时也是它的局限性所在。每一层次的抽象都使得数学更加远离实际生活，也使得解释它与实际生活的关联变得更加困难，因为这种关联有一种多米诺骨牌效应——抽象的数学也许不能直接应用于实际生活，但它可以间接地应用在另一种事物上，而那种事物可以直接应用于实际生活。这样的应用链可以包含好几节，比如：
范畴论 → 拓扑学 → 物理学 → 化学 → 医药”
抽象使数学远离现实又作用于现实
2022-03-11
“数学则与此不同。数学研究的第一步与其他科学没什么不同——提出一个你认为正确的假设。但接下来就不一样了，我们不再使用实证性的方式来严格检验这个假设，而是使用逻辑来严格检验这个假设。此处的“严格”就其定义而言与一般科学意义上的“严格”完全不同。它与样本大小无关，因为数学研究并不涉及任何样本，而只关乎思考、推演的过程。主观感觉也不会影响这个过程，因为我们所做的只是应用逻辑规则而已。”
数学与其它学科的不同
2022-03-11
“切三刀得到最多块蛋糕的方法如下所示，使用这种切法，你可以切出7块蛋糕。
[插图]”
二维的蛋糕，三刀最多切7块。
到第四刀，若回到三维，就可以切出14块。
三维的蛋糕，用三刀，二纵一横，可切出8块。
到第四刀，若再一横，可切出12块；
若再一纵，可切出14块。
2022-03-11
“中学里的微积分通常会用于解决某些具体问题，比如：“如果你画出了y=x2的函数图像，那么x=0到x=2之间曲线下阴影部分的面积是多少？”
[插图]
在中学里，老师会教我们这样求解：“对x2进行积分后得到x3/3，然后代入x=2，得出解为8/3。”
但在大学里，我们需要做的是证明这个计算过程的有效性。在中学，我们通常会用一种实验性的方法给出证明，即在小方格纸上画出函数图，再数一数阴影部分有多少个小方格。因为总会有一些小方格没有被阴影填满，所以只有当小方格无穷小的时候，我们才能得出真正精确的答案。
严格微积分将计算阴影面积的论证过程纳入滴水不漏的逻辑分析，这反而让人们更加困惑，因为它没有以人们期待的那种方式给出一个确切的答案。相反，它给出的回答是：画着无穷小的小方格的纸是不存在的，因此当我们用方格越来越小的纸画函数图时，我们会发现阴影面积的数值越来越接近8/3。进而我们可以证明，无论我们希望这个数值有多接近8/3，总有一个尺寸的小方格可以满足我们的要求。”
中学与大学求微积分的不同
2022-03-11
“从具体事物到数字的抽象对许多人来说并不困难，他们甚至都没有意识到自己进行了这样的抽象转换。让不少人觉得难以逾越的第一道横杆很可能是从数字到变量x 和y的转换。他们不会进行这种转换，也不理解这种转换的意义，因此他们在数次失败的尝试后选择了放弃。（就像我始终不理解跳高的意”
选书理由
这本书是我在B站UP主江小遥的一个书单分享视频里标记的。她推荐时说：“这本书从美食入手，让我们感知到用数学思维看看待生活是多么有趣。我在看这本书时，完全忘记了枯燥复杂的公式，也认识到，数学存在的意义是让困难的事情变得容易。数学所囊括的内容远不止于方程式。它是一种功能强大的工具，可以用于思索和阐释我们的生活。”
说来惭愧，虽然我是个程序员，但是数学功底和逻辑思维能力都很一般。发表第一篇笔记时，一位老师给我评论说，要读一些适合自己现阶段的好书。所以我就暂时把选书标准定为：读可以提高自己思维能力、认知能力、有助于个人成长的书。
作者与内容简介
本书作者郑乐隽（Eugenia Cheng）是华裔青年数学家、钢琴家，拥有剑桥大学数学博士学位，是芝加哥艺术学院的驻校科学家，并从事数学科普工作。网上有很多她关于数学的有趣的演讲。
“数学思维”这个标题并不是直译，原版标题叫做：How to Bake Pi: An Edible Exploration of the Mathematics of Mathematics，风趣幽默、一语双关地道出了：这本书其实是通过对数学思想与烘培和生活琐事进行抽象类比，来揭示妙趣横生的数学哲学的。
读后感
从小学到硕士毕业，我可能从未真正享受过学习数学的过程。关于数学，我的记忆是这样的：初中的时候，因为做不出随堂练习而受到老师的指责，抹着眼泪继续做题；高考数学，疯狂刷题却碰上葛军大佬，成绩甚至没有过百；大一时，因为自己不能很好的平衡学习和学生工作，挂过一次高等数学（要不是因为写这一段回忆，我还从未意识到，自己的数学这么差 T^T）。
但是，这本书颠覆了我对数学的认知，甚至让我萌生了想读更多数学类科普读物的想法。作者无疑是个思维广阔的学者、循循善诱的教授。她善于观察生活，勤于思考，并把这些细腻的感悟与数学思维之间的联系，一一记录了下来。我无从得知这本书的成书过程，只是感叹，当一个热爱自己专业的人，谈起他的研究时，是如此的神采奕奕，魅力十足。或许热爱，才是对知识和学问的尊重。也只有深刻的理解和洞见，才会为读者带来如此精妙的比喻与抽丝剥茧的阐释。
这种热情与知识储备，让我想起另外一位华人数学家丘成桐教授的文章《数学和中国文学的比较》。在这篇文章里，作者把这两门看似风马牛不相及的学问，从多个方面进行类比，文采斐然，字字珠玑。丘成桐先生在文末写道：“为了达到深远的效果，数学家需要找寻问题的精华所在，需要不断地培养我们对问题的感情和技巧，这一点与孟子所说的养气相似。气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养。” 我很庆幸，虽然现在的我还不够优秀，但也从事着自己热爱的行业，享受学习和工作的过程，这是我很珍惜的幸运。
在微信读书上，我对这本书的划线加上想法的笔记一共有223处，它带给我很多共鸣和启发。这里就简单地从三个方面总结我感触颇深的地方。
数学也是一种思维工具
作者通过一些形象的例子和通俗易懂的解析说明了，数学的目的其实是让事情简单化。数学致力于寻找事物的相似之处，抽象地看待事物。忽略与当前问题无关的细节，聚焦于核心属性。
这种“抽象思维”其实是一种智慧，把不需要的想法收起来，带领你逐步贴近事物的本质或核心。从而解决问题。而这种思维训练可以被应用到其他非数学领域：首先，提炼现实。然后，在抽象的世界进行逻辑推理。最后，把这些抽象的东西再应用到现实中去。不同的人擅长这个过程中的不同步骤。整个过程最核心的部分，就是游刃有余地在抽象和现实之间穿梭。
用数学思维去解决问题的好处是，它帮助我们去除一些模糊不清的问题，找到相似之处，发现捷径，把一些相似问题归类为同一问题。
真理的三个方面
在本书的结尾处，作者提出了一个真理之圆的概念。她认为，真理的三个方面为：知道，理解，和相信。
如果把我们所常说的知识、常识解释成这个圆中的“知道”，那么“理解”就是把它们应用于其他领域。现如今这个信息爆炸的时代，如何获取知识已不再是秘密，理解和融汇变通才是更强大的力量。
而如何能够证明我们真正理解了某个知识呢？我认为是去分享这份知识，去尝试讲给另一个甚至可能本不相信或未曾听说过这个观点的人。推动未被相信的事物进入“已相信领域”。
作者说她在研究数学的时候，常常需要研究两次——第一次在自己的头脑里，第二次将它转换或者翻译成一种可以用来与其他人进行交流的形式。
分享知识，向他人证明，让他人相信的核心不是它的不可驳斥性，而是它在转换过程中的稳定性。证明是把我的论点向X表达的最佳媒介，它既不会造成模棱两可，也不会引起误解或混淆。能够使他人相信的证明，必将是深究其源的理解。
这个论点让我想起一个我很喜欢的B站UP主“老石谈芯”的读书心得。在《展示你的工作》这本书中，有这样一段话：“找到你想学的东西，并且在别人面前学习，分享你的过程和成功，更重要的是分享你的失败，帮助那些想和你走同一条路的人。“ 这个点我将在一下一部分再次提到。
数学与编程
最后，我想献丑，学作者一样类比，谈谈我认为数学和编程的关联。
第一，如作者所说，数学致力于寻找事物的相似之处，目的是让事情简单化。读到这些时，我立刻想到了C++的三大特性：封装、继承和多态。抽象化思维，不正是面向对象编程的重点吗？封装成“类”，派生出其他具有相似属性的“子类”，重载具有相似功能的函数。总结事物的相似之处，逼近本质和核心，是编程思想背后的“懒”，也是其聪明之处。
第二，作者说，数学家时常去寻找一种通解，制造机器去做本来由人来做的工作。这也正是程序员在结局问题时的一个思路。把重复的语句写成函数，引入模板类等等。理解方法背后的原理帮助我们走捷径，简化步骤。
第三，关于内容的分享。如前面提到的老石的视频标题所说，“分享是程序员的必备素质” 。分享的前提是对知识的透彻理解，只有这样才能清晰有力地证明给别人。并且分享的过程，也有助于发现我们自己思维的漏洞，比如可爱的 “小黄鸭调试法”，指的是在程序的调试或测试过程中，耐心地向小黄鸭解释每一行程序的作用，以此来激发灵感与发现矛盾（寂寞的程序员T^T）。开源项目、技术博客、Github社区、Stack Overflow问答网站的存在，一方面为学习者指路，另一方面也是对分享者知识的校验。
最后，打个广告。欢迎关注我的公众号和我一起读书：xiaqing_reading
2022-03-11
“抽象之所以让人觉得难以理解，是因为它带我们离开了具体事物的世界，而进入只存在于头脑中的“概念”的世界。但有一些抽象概念我们已经十分熟悉了，因而我们不再能意识到它是一种抽象。”
抽象让人难以理解的原因
2022-03-13
“另一个我们很熟悉的抽象概念是形状。正方形是什么？它是一个包含4条相等的边和4个相等的角的形状。但现实生活中存在完美的正方形吗？不存在。仔细考量的话，现实生活中的正方形都不是绝对完美的正方形。圆形也是如此。直线呢？真的存在完美的直线吗？我想答案是否定的。不过，虽然现实生活中的直线不过是趋近于完美直线这个概念的近似物，但我们显然已经非常习惯使用这个概念了。”
抽象 形状
2022-03-14
“抽象的美妙之处在于，在你对某个抽象概念已经非常熟悉了以后，它似乎就变成了一个具体的事物，而不再是一个想象出来的概念。你也许已经很习惯“2”这个概念，这意味着你已经适应了这种程度的抽象。而对于“-2”这个概念，你可能就没有那么习惯了。”
抽象的美妙
2022-03-14